MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Multiplicación de Polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo

3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x+ 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 

3x2 · (2x− 3x+ 4x − 2) =
= 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x− 3       Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x− 3x2 + 4x) = 
= 4x− 6x4 + 8x− 6x3+ 9x− 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5



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El Producto de un Monomio y un Polinomio

 

La Propiedad Distributiva puede ser usada para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio debe ser multiplicado por cada término en el polinomio. Considera la expresión 2x(2x2 + 5x + 10).

 

Esta expresión puede ser modelada con un esquema como el mostrado abajo. Este modelo se llama modelo de área porque las piezas rectangulares representan el área creada por la multiplicación de un monomio y un polinomio.

 

 

2x2

5x

10

 

2x

 

4x3

 

10x2

 

20x

 

 

 

 

 

 

 

Podemos ver que el producto del ancho, 2x, y el largo, 2x2 + 5x + 10, es el área de toda la región sombreada. El área puede dividirse en tres piezas más pequeñas. Cada una de esas piezas tiene un ancho de 2x y el largo está representado por uno de los términos del polinomio.

 

Los modelos de área son una manera útil de visualizar un problema de multiplicación. Pero también podemos encontrar el producto de dos polinomios algebraicamente, aplicando la Propiedad Distributiva. Recuerda que la Propiedad Distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumarlos: a(b + c) = ab + ac. No importa cuántos términos haya: a(d) = ab ac + ad.

 

Intentemos una:

 

Ejemplo

Problema

 

5x3(4x2 + 3x + 7)

 

 

 

 

 

Distribuir el monomio a cada término del polinomio

 

 

Sumar los productos

Solución

 

 

 

 

 

Producto de Dos Binomios

 

Ahora exploremos la multiplicación de dos binomios. Una vez más, podemos dibujar un modelo de área para ayudarnos a entender el proceso. Usaremos cada binomio como una de las dimensiones del rectángulo, y su producto como el área

 

El siguiente modelo muestra (x + 4)(2x + 2):

 

 

x

1

1

1

1

 

 

x

 

 

 

 

x2

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

x2

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

x

1

x

1

1

1

1

1

x

1

1

1

1

 

Cada binomio es expandido en variables individuales y números, x + 4 sobre la parte de arriba del modelo y 2x + 2 sobre el lado izquierdo. El producto de cada par de términos es un rectángulo sombreado. El área total es la suma de todos estos pequeños rectángulos, los cuales son también el producto final de multiplicar los binomios. Si combinamos todos los términos semejantes podemos escribir el producto, o el área, como 2x+ 10x + 8.

 

También podemos usar álgebra para determinar el producto de dos binomios. Simplemente multiplica cada término en un binomio por todos los términos en el otro binomio como se muestra abajo:

 

Ejemplo

Problema

(x + 4)(2x + 2)

 

 

 

 

 

x(2x + 2) + 4(2+ 2)

 

 

Multiplicar cada término en un binomio por cada termino en el otro binomio

 

2x2 + 2+ 8+ 8

 

 

Reescribir para agrupar los términos semejantes

 

2x2 + 10+ 8

 

 

Combinar términos semejantes

Solución

2x2 + 10+ 8

 

 

 

 

Mira de nuevo el rectángulo e identifica de dónde viene cada pieza de 2x2 + 2x + 8x + 8 ¿Puedes ver dónde multiplicamos x por 2x + 2, y dónde obtuvimos 2x2 de x(2x)?

 

Como la multiplicación es conmutativa, los términos pueden ser multiplicados en cualquier orden. La expresión (2x + 2)( + 4) tiene el mismo producto que ( + 4)(2x + 2), ambas tienen un producto de 2x2 + 10+ 8. El orden en el cual multiplicamos los binomios no importa. Lo que importa es que multipliquemos cada término en un binomio por cada término en el otro binomio.

 

El último paso en la multiplicación de polinomios es combinar los términos semejantes. Recuerda que un polinomio está simplificado sólo cuando ya no quedan términos semejantes.

 

Encuentra el producto:

 

(+ 10)(2a – 7)

 

A) 2a+ 19– 70

 

B) 3a 3

 

C) 2a– 70

 

D) 2a+ 13– 70

 


 

 

 

La multiplicación de binomios es usada a veces para resolver problemas de geometría. Supón que queremos encontrar el área de un triángulo con base 4– 10 y altura 2+ 3. Para encontrar el área del triángulo, encontramos el producto de ½ de la base y la altura (esa es la fórmula del área de un triángulo). Esto se puede mostrar con la siguiente expresión (4– 10)(2+ 3).

 

Ejemplo

Problema

 (4– 10)(2+ 3)

 

 

 [4x(2x + 3) – 10(2+ 3)]

 

Distribuir la multiplicación

[8x2 + 12– 20– 30]

 

 

Multiplicar. Ten cuidado con el signo negativo cuando distribuyes –10 a 2x + 3.

 [8x2 – 8– 30]

 

 

Combinar términos semejantes

 

Simplificar

Solución

 

4x2 – 4–15

 

 

 

 

Producto de un Binomio y un Trinomio

 

Otro tipo de multiplicación de polinomios es el producto de un binomio y un trinomio. Aquí también, el proceso es el mismo que con los otros tipos. Cada término en el binomio debe ser multiplicado por cada uno de los términos del trinomio. Dos ejemplos se muestran abajo.

 

Ejemplo

Problema

 (3x + 6)(5x2 + 3x –10)

 

 

 

 3x(5x2 + 3x – 10) + 6(5x2 + 3x – 10)

 

Multiplicar cada término en el binomio por el polinomio

 

(15x3 + 9x– 30x) + (30x+ 18– 60)

 

Usar la Propiedad Distributiva

 

15x3 + 9x– 30x + 30x2 + 18– 60

 

Reescribir sin paréntesis

 

15x3 + 9x+ 30x2 – 30x + 18– 60

 

Reagrupar términos semejantes

 

15x3 + 39x– 12x – 60

 

Combinar términos semejantes

Solución

15x3 + 39x– 12x – 60

 

 

 

 

El siguiente ejemplo muestra la multiplicación de un binomio por un polinomio y ambos contienen una resta

 

Ejemplo

Problema

 (2– 1)(3p2 – 3p ­+ 1)

 

 

 

 2p(3p2 – 3p ­+ 1) – 1(3p2 – 3p ­+ 1)

 

Multiplicar cada término en el binomio por el polinomio

 

(6p3 – 6p2 ­+ 2p) – 1(3p2) – 1(-3p) – 1(1)

 

Sé cuidadoso del signo negativo cuando distribuyas -1 al trinomio

 

6p3 – 6p2 ­+ 2– 3p2 + 3p – 1

 

Reescribir sin paréntesis

 

6p3 – 6p2 ­– 3p2 + 2+ 3p – 1

 

Reagrupar términos semejantes

 

6p3 – 9p2 ­+ 5p – 1

 

Combinar términos semejantes

Solución

6p3 – 9p2 ­+ 5p – 1

 

 

 

 

Encontrar el producto:

 

(3x – 2)(2x2 + 4x – 11)

 

A) 6x3 + 8x2  41+ 22

 

B) 6x3 + 8x2  41x – 22

 

C) 6x3 + 12+ 22

 

D) 3x3 + 8x2 25x – 22

 

 

 

 

Sumario

 

La multiplicación de binomios y polinomios requiere el uso de la Propiedad Distributiva y de operaciones con enteros. Ya sea que los polinomios sean monomios, binomios, o trinomios, debes multiplicar cada término en un polinomio por cada término en el otro polinomio. Ten cuidado con los signos de suma y resta y coeficientes negativos. Un producto está escrito en su forma simple si todos sus términos semejantes han sido combinados.










Resuelve los siguientes productos algebraicos:

1)      (x + 5)(x - 5)

2)      (2x + 5)(2x - 5)

3)      (5xy - 6)(5xy + 6)

4)      (12 + 9ab)(12 – 9ab)

5)      (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab)

6)      (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2)

7)      (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4)

8)      (5.3+ 4)(5.3- 4)

9)      [(a+4) - b][(a+4) + b]

10)  [(x - y) + z][(x - y) - z]

11)  (2c + d + e)(2c + d - e)

12)   (a + b + 5)(a + b - 5)

13)   (a – b + 5)(a + b + 5)

14)   (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab)

15)   (10 + 2a + 3b)(10 – 2a - 3b)

16)   (3 – x + y)(3 + x + y)

17)   (a + b + 7)(a – b + 7)

18)   (-a –b + 7)(a + b + 7)

19)   (10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)




NOTA : RECUERDEN QUE EN ALGEBRA LA MULTIPLICACION LA SENALAMOS CON UN (   ) O UN PUNTO

 EN MEDIO DE LAS DOS CIFRAS TAMBIEN CON LLAVES {   }, CORCHETE[  ],   ASI QUE SI ENCUENTRAN 

CUALQUIERA DE ESTOS SIMBOLOS ENTRE DOS CIFRAS NOS INDICARIA UNA MULTIPLICACION

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